Introducción

Mi primera formación académica fue Ingeniería Industrial. A pesar de que había sacado buenas notas en matemáticas, notaba que tenía bastantes lagunas en la base matemática de algunas asignaturas como elasticidad y mecánica de fluidos. No entendía bien esas cosas que se llamaban tensores y que tanto se usaban. Empecé a consultar libros sobre tensores y entendía más bien poco. Allí se decía que eran magnitudes físicas independientes del sistema de coordenadas utilizado para medirlos (por ejemplo, Kay [Ka] o Synge [Sy]). Sin embargo, estaban llenos de subíndices y superíndices; había una fórmula que relacionaba las componentes de un tensor en distintos sistemas de coordenadas, llenas de derivadas parciales donde la misma letra era a veces una función, a veces un número fijo, a veces una variable dependiente y a veces una variable independiente. No sabía qué era realmente un tensor. La teoría de la relatividad especial y general también me llamaba mucho la atención. Un profesor me dijo algo así: «Hay dos niveles en geometría diferencial, una que ve el objeto desde fuera y otra que lo ve desde dentro; para estudiar relatividad necesitas el segundo tipo, pues tienes que estudiar la curvatura del espacio sin salir del propio espacio». En aquel momento entendí más bien poco de sus palabras. Pasados los años, y debido a mi pasión por las matemáticas, empecé el Grado de Matemáticas. La primera vez que me encontré con tensores en el grado se definían como formas multilineales (por ejemplo, Spivak [Sp o Hernando [He]). Mi lío fue en aumento, ¿qué tienen que ver todos esos subíndices y derivadas parciales de los libros de física con las formas multilineales de los libros de matemáticas? Después de haber cursado todas las asignaturas obligatorias y optativas de geometría y tolopología del grado, me enfrenté a algunos libros (Bobillo-Dehesa [Bo], Chamizo [Ch], Sánchez-Flores [Sa], Kay Ka o Rashevski [Ra]) sobre tensores tanto matemáticos como físicos, ¡y era capaz de entenderlo! ¡Menuda alegría! Por ello, creí que sería una buena cosa escribir un texto para intentar acercar estos dos puntos de vista a la hora de trabajar con tensores: el matemático y el físico. El lector juzgará si se ha conseguido.

Así, este texto pretende tender puentes entre la forma matemática y la forma física de concebir el concepto de tensor y proporcionar una base matemática para proseguir en el estudio de tensores. En particular, nos vamos a centrar en la parte algebraica de los campos de tensores y q-formas diferenciales en variedades. Para comprender este texto el lector debe tener conocimientos de álgebra lineal, análisis en varias variables y topología básica.

El capítulo 1 está dividido en cinco secciones. En este capítulo introducimos el concepto de tensor y sus operaciones algebraicas, así como el concepto de q-forma, que no deja de ser un tipo particular de tensor. Como veremos, el objeto tensor engloba a muchos otros del álgebra lineal, lo que nos permitirá ahorrar esfuerzos, pues estudiando un solo objeto obtendremos conclusiones para una gran variedad de ellos. No trabajaremos en este capítulo con campos tensoriales, cosa que haremos en el siguiente. A su vez, tenderemos puentes entre el punto de vista matemático y el físico sobre tensores. Los libros de matemáticas definen tensor como cierta forma multilineal y, a partir de él, definen las distintas operaciones; las demostraciones que aquí veremos no suelen venir tan detalladas y pocas veces se detienen a «bajar a la arena» para trabajar con bases y componentes de tensores. Por su parte, los textos físicos suelen atacar la definición de tensor diciendo que son magnitudes físicas independientes del sistema de coordenadas utilizado para medir y, rápidamente, aparece un conjunto de coeficientes junto con la regla para cambiar el valor de los mismos al cambiar de sistema de coordenadas; a su vez, las operaciones se definen directamente en componentes. En el capítulo 1 veremos que estos coeficientes dependen de la base vectorial y en el capítulo 2 que cada sistema de coordenadas o carta de la variedad tiene una base natural asociada, de ahí que las componentes cambien con el sistema de coordenadas.

De esta manera, en la sección 1 del capítulo 1 repasamos algunos conceptos del álgebra lineal y, partiendo de la notación matricial (más familiar), llegamos a la notación tensorial, entendiendo por ella el uso del convenio de Einstein. En la sección 2 definimos el concepto de tensor sobre un espacio vectorial real; podríamos haber dado más generalidad a este estudio trabajando con módulos en vez de espacios vectoriales, pero no será necesario. Justificaremos el uso de tensores como una manera de generalizar un gran número de objetos matemáticos. Estudiaremos las operaciones con tensores y sus propiedades; estas operaciones se definirán sin usar componentes (más matemático), pero luego se establecerán las fórmulas en componentes (más físico). Se probará la estructura de espacio vectorial en tensores y la fórmula de cambio de base, que es de especial importancia para, en el capítulo 2, explicar la forma en que se entienden los tensores en muchos textos físicos. En la sección 3 y gracias al tensor métrico, estudiaremos los espacios seudoeuclídeos como generalización de los espacios euclídeos y veremos cómo en estos espacios existe un isomorfismo canónico entre el espacio vectorial primal y dual; esto permite lo que en física llaman subir y bajar índices y también lo que llaman componentes contravariantes y covariantes de un vector. En la sección 4 le tocará el turno a los tensores covariantes alternados o q-formas; estableceremos algunas de las operaciones con ellos y sus propiedades. Como apéndice a este capítulo se estudiará una forma más matemática de definir el producto tensorial, que es independiente del resto del texto.

El capítulo 2 está dividido en cuatro secciones. En este capítulo pasaremos de los tensores y q-formas a los campos de tensores y q-formas diferenciales; si bien, por comodidad, los seguiremos llamando tensores y q-formas. Para ello, debemos comenzar estudiando las variedades diferenciables y todos sus conceptos relacionados, así como la manera de trabajar en la variedad a través de cartas. Con ello estaremos en disposición de definir campos de tensores y q-formas diferenciales en dicha variedad tanto desde un punto de vista matemático como físico. Esto junto algunos ejemplos de tensores y conclusiones darán por finalizado el trabajo.

De esta manera, en la sección 1 del capítulo 2, comenzaremos por el concepto de variedad topológica, pues es el que da paso al de variedad diferenciable; también veremos que podemos construir una variedad diferenciable sin que previamente tenga estructura de variedad topológica. Estudiaremos las aplicaciones diferenciables entre variedades; por un lado la definición y por otro cómo caracterizar de manera más sencilla una aplicación diferenciable. En la sección 2 le tocará el turno al espacio tangente en cada punto de la variedad; para ello, partiremos de una manera de caracterizar vectores en un espacio afín que sea exportable a variedades diferenciables: mediante un espacio cociente de curvas. Además de entender los vectores del espacio tangente con curvas y comprobar que cada carta induce una base natural asociada a ella en el espacio tangente de cada punto de la carta, explicaremos otras dos formas equivalentes de entender el espacio tangente: mediante la ley de cambio de componenentes al cambiar de base natural (la más física) y mediante el concepto de derivación. Posteriormente estudiaremos el espacio cotangente y la diferencial de una función real. A continuación aparecerán los conceptos de fibrado tangente y cotangente, que nos permitirán definir campos de vectores y tensores. En la sección 3 estudiamos los campos, comenzando por los campos de vectores, siguiendo por las 1-formas diferenciales, los campos de tensores y las q-formas diferenciales. De todos ellos daremos varios puntos de vista, algunos más matemáticos y otros más físicos, junto con una proposición que nos ayudará a caracterizar los campos de tensores. En la sección 4 pondremos ejemplos de tensores; uno de los más importantes es el tensor métrico, pues permite hacer geometría y análisis en la variedad. A continuación hablaremos brevísimamente del modelo matemático de la relatividad general donde aparecen, entre otros, el tensor de curvatura de Riemann. Otro ejemplo que pondremos será una de las ecuaciones del modelo matemático de la elasticidad, donde aparece el tensor de tensiones y el de deformaciones. Por último, comentaremos algunas posibles formas de avanzar en el estudio de los tensores más allá de este texto.

En el apartado de agradecimientos, dedico este texto a María, por su paciencia, comprensión y apoyo, y a mi padre, que no ha podido ver el final de esta aventura matemática. Un agradecimiento especial al profesor Antonio F. Costa. Finalmente, agradezco a familiares y amigos todos los ánimos que me han brindado a lo largo de estos años.

Índice

Álgebra tensorial y de formas

1.1. Notación del capítulo y primeros pasos

1.2. Tensores y sus operaciones

1.3. Tensores en espacios seudoeuclídeos

1.4. Tensores covariantes alternados

1.5. Apéndice

Tensores y formas en variedades diferenciables

2.1. Variedades diferenciables

2.2. Espacio tangente

2.3. Campos de tensores y de q-formas

2.4. Ejemplos de tensores y conclusiones